Oct 13

Manacher's ALGORITHM: O(n)时间求字符串的最长回文子串 不指定

felix021 @ 2011-10-13 12:00 [IT » 程序设计] 评论(27) , 引用(0) , 阅读(79533) | Via 本站原创 | |
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源于这两篇文章:
http://blog.csdn.net/ggggiqnypgjg/article/details/6645824
http://zhuhongcheng.wordpress.com/2009/08/02/a-simple-linear-time-algorithm-for-finding-longest-palindrome-sub-string/

这个算法看了三天,终于理解了,在这里记录一下自己的思路,免得以后忘了又要想很久- -.

首先用一个非常巧妙的方式,将所有可能的奇数/偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度:在每个字符的两边都插入一个特殊的符号。比如 abba 变成 #a#b#b#a#, aba变成 #a#b#a#。 为了进一步减少编码的复杂度,可以在字符串的开始加入另一个特殊字符,这样就不用特殊处理越界问题,比如$#a#b#a#(注意,下面的代码是用C语言写就,由于C语言规范还要求字符串末尾有一个'\0'所以正好OK,但其他语言可能会导致越界)。

下面以字符串12212321为例,经过上一步,变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#";

然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左/右扩张的长度(包括S[i],也就是把该回文串“对折”以后的长度),比如S和P的对应关系:
S  #  1  #  2  #  2  #  1  #  2  #  3  #  2  #  1  #
P  1  2  1  2  5  2  1  4  1  2  1  6  1  2  1  2  1
(p.s. 可以看出,P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度)

那么怎么计算P[i]呢?该算法增加两个辅助变量(其实一个就够了,两个更清晰)id和mx,其中 id 为已知的 {右边界最大} 的回文子串的中心,mx则为id+P[id],也就是这个子串的右边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论,这个算法的关键点就在这里了:如果mx > i,那么P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)。就是这个串卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点,理解起来会简单很多:
//记j = 2 * id - i,也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点(j = id - (i - id))
if (mx - i > P[j])
    P[i] = P[j];
else /* P[j] >= mx - i */
    P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i,取最小值,之后再匹配更新。

当然光看代码还是不够清晰,还是借助图来理解比较容易。

当 mx - i > P[j] 的时候,以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中,由于 i 和 j 对称,以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中,所以必有 P[i] = P[j],见下图。
点击在新窗口中浏览此图片

当 P[j] >= mx - i 的时候,以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中,但是基于对称性可知,下图中两个绿框所包围的部分是相同的,也就是说以S[i]为中心的回文子串,其向右至少会扩张到mx的位置,也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称,就只能老老实实去匹配了。
点击在新窗口中浏览此图片

对于 mx <= i 的情况,无法对 P[i]做更多的假设,只能P[i] = 1,然后再去匹配了。

于是代码如下:
//输入,并处理得到字符串s
int p[1000], mx = 0, id = 0;
memset(p, 0, sizeof(p));
for (i = 1; s[i] != '\0'; i++) {
    p[i] = mx > i ? min(p[2*id-i], mx-i) : 1;
    while (s[i + p[i]] == s[i - p[i]]) p[i]++;
    if (i + p[i] > mx) {
        mx = i + p[i];
        id = i;
    }
}
//找出p[i]中最大的

OVER.

#UPDATE@2013-08-21 14:27
@zhengyuee 同学指出,由于 P[id] = mx,所以 S[id-mx] != S[id+mx],那么当 P[j] > mx - i 的时候,可以肯定 P[i] = mx - i ,不需要再继续匹配了。不过在具体实现的时候即使不考虑这一点,也只是多一次匹配(必然会fail),但是却要多加一个分支,所以上面的代码就不改了。

转载请注明出自 ,如是转载文则注明原出处,谢谢:)
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Coder
2017-11-3 03:22
解釋的清楚明白多謝.供大家參考:articles.leetcode.com的Longest Palindromic Substring Part II文後的useful links有提到這篇的網址.在youtube-IDeserve的Longest Palindromic Substring O(N) Manacher‘s Algorithm的useful references可間接連到這網頁.
pikachu
2017-10-28 14:00
memset应该初始化为1,id和mx也应该为1啊
Cava
2017-10-25 22:32
不错!思路清晰,代码简洁,非常容易理解。不过感觉写成这个样子更符合我的思维方式:mx > P[j] + i              受教了,感谢~~
ff
2017-10-11 10:09
love<br />
prince123
2017-10-7 03:11
写得真好~(因为我看懂了。。
han0111
2017-9-19 13:34
很好
端木wx
2017-8-29 15:50
写的很不错,看了一遍就懂了
123 Homepage
2017-8-21 15:39
die
cxh007
2017-8-9 17:56
envy
555
2017-7-26 09:40
envy
文章写的不错,很有助于理解此算法,是我目前看到的解释最清楚地。最后@zhengyuee 同学指出的为题也确实值得考虑,从更深层次解释理解这个算法的复杂度为啥是O(n),但是,对于这种情况却考虑的不完整,如果以id为中心的回文字符串左边界已经到最边上,这样的话就需要再继续检测,不能直接 P[i] = mx - i 。可能说的不太明白,大概就这个意思。最后,感谢作者。
mayahw
2017-6-19 17:45
这个是我目前读到的最清楚的描述了, 感谢。
ctg诺
2016-10-10 10:17
smoke
0x3A2B
2016-7-29 10:06
"//记j = 2 * id - i,也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点(j = id + (id - i))"这里应该是  "j = id - (i - id)"吧原文写的是"int i_mirror = 2*C-i; // equals to i' = C - (i-C)"
felix021 回复于 2016-7-30 21:50
嗯,是的,j在id的左边,j = id - (i - id) 这个写法更合理。
曙光
2016-1-20 15:26
真棒!不但表述棒,代码也写得简洁。受教,多谢!
zhs
2015-11-2 19:59
“其中id表示最大回文子串中心的位置,mx则为id+P[id],也就是最大回文子串的边界。”这句话有误啊!并不是最大回文子串,只是这个回文子串的右边界最靠右而已,被你误导了,卡TLE卡了几天。。。
felix021 回复于 2015-11-5 09:33
sorry 表述有问题:D
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