May 13

最长递增子序列 O(NlogN)算法 不指定

felix021 @ 2009-5-13 04:15 [IT » 程序设计] 评论(54) , 引用(0) , 阅读(104664) | Via 本站原创 | |
今天回顾WOJ1398,发现了这个当时没有理解透彻的算法。
看了好久好久,现在终于想明白了。
试着把它写下来,让自己更明白。

最长递增子序列,Longest Increasing Subsequence 下面我们简记为 LIS。
排序+LCS算法 以及 DP算法就忽略了,这两个太容易理解了。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7,可以看出来它的LIS长度为5。
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B,然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外,我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先,把d[1]有序地放到B里,令B[1] = 2,就是说当只有1一个数字2的时候,长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后,把d[2]有序地放到B里,令B[1] = 1,就是说长度为1的LIS的最小末尾是1,d[1]=2已经没用了,很容易理解吧。这时Len=1

接着,d[3] = 5,d[3]>B[1],所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5,就是说长度为2的LIS的最小末尾是5,很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5,Len=2

再来,d[4] = 3,它正好加在1,5之间,放在1的位置显然不合适,因为1小于3,长度为1的LIS最小末尾应该是1,这样很容易推知,长度为2的LIS最小末尾是3,于是可以把5淘汰掉,这时候B[1..2] = 1, 3,Len = 2

继续,d[5] = 6,它在3后面,因为B[2] = 3, 而6在3后面,于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6,还是很容易理解吧? Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4,你看它在3和6之间,于是我们就可以把6替换掉,得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4, Len继续等于3

第7个, d[7] = 8,它很大,比4大,嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9,得到B[5] = 9,嗯。Len继续增大,到5了。

最后一个, d[9] = 7,它在B[3] = 4和B[4] = 8之间,所以我们知道,最新的B[4] =7,B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9,Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

!!!!! 注意。这个1,3,4,7,9不是LIS,它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。有了这个末尾,我们就可以一个一个地插入数据。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义,但是如果后面再出现两个数字 8 和 9,那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6],得出LIS的长度为6。

然后应该发现一件事情了:在B中插入数据是有序的,而且是进行替换而不需要挪动——也就是说,我们可以使用二分查找,将每一个数字的插入时间优化到O(logN)~~~~~于是算法的时间复杂度就降低到了O(NlogN)~!

代码如下:

//在非递减序列 arr[s..e](闭区间)上二分查找第一个大于等于key的位置,如果都小于key,就返回e+1
int upper_bound(int arr[], int s, int e, int key)
{
    int mid;
    if (arr[e] <= key)
        return e + 1;
    while (s < e)
    {
        mid = s + (e - s) / 2;
        if (arr[mid] <= key)
            s = mid + 1;
        else
            e = mid;
    }
    return s;
}

int LIS(int d[], int n)
{
    int i = 0, len = 1, *end = (int *)alloca(sizeof(int) * (n + 1));
    end[1] = d[0]; //初始化:长度为1的LIS末尾为d[0]
    for (i = 1; i < n; i++)
    {
        int pos = upper_bound(end, 1, len, d[i]); //找到插入位置
        end[pos] = d[i];
        if (len < pos) //按需要更新LIS长度
            len = pos;
    }
    return len;
}


update @ 2016-08-21

没想到7年多了还要更新一下……

有几位同学在评论中问到如何给出一个LIS而不仅是计算长度。具体的代码我没有写过,不过大概可以这么实现:更新B[i]的时候,把记下来数字在原来数组中的下标也记下来(被替换的数据保留在一个后备数组中)。等到得出 B[n] 了以后,用贪心算法往前回溯,每次找出B[i-1]对应后备数组中值小于B[i]、下标小于B[i]下标、且在该后备数组中下标最大的那个。

update @ 2017-04-16

补充一下,由于上面那段代码用的是upper_bound,所以实际上求的是最长不下降子序列;如果要求递增子序列,应该改用lower_bound。

转载请注明出自 ,如是转载文则注明原出处,谢谢:)
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asdf
2015-11-17 16:17
fear
11 Homepage
2015-11-13 17:24
4,5,1,2,3,7,8,9这样还对么
??
2015-10-31 18:13
shy
weico Email
2015-4-12 10:53
这个算法只能得出LIS的长度???
felix021 回复于 2015-4-14 08:51
能求出长度,求LIS本身就很容易了。
wen
2014-10-16 10:51
看到了Bug版本的二分查找--溢出问题。
felix021 回复于 2014-12-5 15:17
不要在意这些细节uplook
chasuner
2013-4-15 14:00
代码好像有点小问题吧,二分查找的right = len - 1才对吧,然后下面left比较的时候也应该和len - 1 比较!
北叶青藤
2011-11-10 11:40
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Felix021
2011-11-5 19:50
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Felix021
2011-11-5 19:50
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树大
2011-11-5 18:48
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Felix021
2011-11-4 18:15
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bigrabbit
2011-3-8 11:26
为什么插入  B[left] = d[i]; 时候,他们不需要比较呢?觉得如果B[left]>d[i],就不需要插入了。。
wwy
2010-7-25 11:18
很好,很强大!very good!
11111
2010-4-30 19:45
envyzan
xg1990
2010-3-1 16:11
学到了~多谢学长~
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