Felix021

% By Felix021
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\title{如何求解一元二次方程}
\author{Felix021}
\date{2009-04-14}

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\begin{document}
\begin{CJK*}{UTF8}{gbsn}
\pdfbookmark[0]{ooxx}{xxoo}
\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\pagenumbering{arabic}

% Section 1
\section{一元二次方程的形式}
\indent\par
一般而言, 我们可以将一元二次方程定义成如下形式
\begin{equation}\label{eq:def}
a \cdot x^2 + b\cdot x + c = 0
\end{equation}
其中\sm{x}为未知数, \sm{a,b,c}为方程的参数。

% Section 2
\section{解法}
\indent\par
从方程(\ref{eq:def})中我们知道，一元二次方程组的一般形式中有三个参数，分别是a, b, c. 要求解一元二次方程组，需要根据参数的值来决定求解方法。
\par
首先，当\sm{a=0}时，方程演化为熟悉的一元一次方程\footnote{一元一次方程一般形式为$a\cdot x + b = 0$}
\[b\cdot x + c = 0\]
我们将\sm{c}移到方程的右边，得到
\[b\cdot x = -c\]
\begin{itemize}
    \item
    若\sm{b=0}
        \begin{itemize}
            \item若\sm{c=0}，方程的解为任意值（无数解）。
            \item若\sm{c\neq0}，方程无解。
        \end{itemize}
    \item
    若\sm{b\neq0}，则方程两边同除以\sm{b}，得到
    \begin{equation}\label{eq:ans1}
    x=-\frac{b}{c}
    \end{equation}
\end{itemize}
\par
当\sm{a\neq0}时，方程两边同除以\sm{a}，得到
\begin{eqnarray}
\nonumber
x^2 + \frac{b}{a}\cdot x + \frac{c}{a} & = & 0 \\
\nonumber
x^2+\frac{b}{a}\cdot x+\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a} & = & 0\\
\nonumber
x^2+\frac{b}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 & = &\frac{b^2}{4a^2}-\frac{4ac}{4a^2}\\
\left(x^2+\frac{b}{2a}x\right)^2 & = & \frac{b^2-4ac}{4a^2} \label{eq:ooxx1}
\end{eqnarray}
由方程(\ref{eq:ooxx1})可知
\begin{itemize}
\item若~$b^2-4ac\le0$，方程两边开方，则等号右边为复数，方程无实数根，复数根的求解在此不予讨论。
\item若~$b^2-4ac\geq0$，则方程两边同时开方，得到
\begin{eqnarray}
\nonumber
x+\frac{b}{2a} & = & \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x_{1,2} & = & \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \label{eq:finalans}
\end{eqnarray}
\end{itemize}
\par
方程(\ref{eq:finalans})就是一元二次方程组的最终解。可以看出，当~$b^2-4ac=0$~时，方程的解唯一，$x=\frac{b}{2a}$。

%Section 3
\section{解的性质}
\indent\par
假设方程(\ref{eq:def})有两个解，则由方程(\ref{eq:finalans})可得，方程的解为
\[x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\quad x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
方程的解有两个很有用的性质：
\begin{eqnarray}
x_1+x_2 & = & -\frac{b}{a}\\
x_1\times x_2 & = & \phantom{-}\frac{c}{a}
\end{eqnarray}
两个结论的推导过程非常简单，在此不展开其推导过程。
\newpage
\end{CJK*}
\end{document}