[转载] 关于LCA和RMQ问题及其互相转化
php学习笔记之 正则表达式
Aug
3
学习RMQ的sparse table算法 
此版本的代码可能有问题，查看新版本。
以为会很难，看了一下，居然很容易就看懂了，也自己把代码写出来了（但愿没有错。。）。
RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题：
RMQ问题是求给定区间中的最值问题。当然，最简单的算法是O(n)的，但是对于查询次数很多（设置多大100万次），O(n)的算法效率不够。可以用线段树将算法优化到O（logn)（在线段树中保存线段的最值）。不过，Sparse_Table算法才是最好的：它可以在O(nlogn)的预处理以后实现O(1)的查询效率。下面把Sparse Table算法分成预处理和查询两部分来说明(以求最小值为例)。
预处理:
预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。
例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值
注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的
所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。
查询:
假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <= (n - m + 1).
于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];
而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值
我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的.
例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3))
具体代码如下:
转载请注明出自 ，如是转载文则注明原出处，谢谢:)
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以为会很难，看了一下，居然很容易就看懂了，也自己把代码写出来了（但愿没有错。。）。
RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题：
RMQ问题是求给定区间中的最值问题。当然，最简单的算法是O(n)的，但是对于查询次数很多（设置多大100万次），O(n)的算法效率不够。可以用线段树将算法优化到O（logn)（在线段树中保存线段的最值）。不过，Sparse_Table算法才是最好的：它可以在O(nlogn)的预处理以后实现O(1)的查询效率。下面把Sparse Table算法分成预处理和查询两部分来说明(以求最小值为例)。
预处理:
预处理使用DP的思想，f(i, j)表示[i, i+2^j - 1]区间中的最小值，我们可以开辟一个数组专门来保存f(i, j)的值。
例如，f(0, 0)表示[0,0]之间的最小值,就是num[0], f(0, 2)表示[0, 3]之间的最小值, f(2, 4)表示[2, 17]之间的最小值
注意, 因为f(i, j)可以由f(i, j - 1)和f(i+2^(j-1), j-1)导出, 而递推的初值(所有的f(i, 0) = i)都是已知的
所以我们可以采用自底向上的算法递推地给出所有符合条件的f(i, j)的值。
查询:
假设要查询从m到n这一段的最小值, 那么我们先求出一个最大的k, 使得k满足2^k <= (n - m + 1).
于是我们就可以把[m, n]分成两个(部分重叠的)长度为2^k的区间: [m, m+2^k-1], [n-2^k+1, n];
而我们之前已经求出了f(m, k)为[m, m+2^k-1]的最小值, f(n-2^k+1, k)为[n-2^k+1, n]的最小值
我们只要返回其中更小的那个, 就是我们想要的答案, 这个算法的时间复杂度是O(1)的.
例如, rmq(0, 11) = min(f(0, 3), f(4, 3))
具体代码如下:
#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
#define MAXN 10000
#define mmin(a, b) ((num[a]<num[b])?(a):(b))
int num[MAXN] = {1,5,3,2,7,9,3,6,7,0,6,8};
int f1[MAXN][100];
void dump(int n){ //测试输出所有的f(i, j)
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; i + (1<<j) - 1 < n; j++){
printf("f[%d, %d] = %d\t", i, j, f1[i][j]);
}
printf("\n");
}
for(i = 0; i < n; i++)printf("%d ", num[i]);
printf("\n");
}
void st(int n){ //sparse table算法
int i, j, k, m;
k = (int) (log((double)n + 0.2) / log(2.0));
for(i = 0; i < n; i++) f1[i][0] = i; //递推的初值
for(j = 1; j <= k; j++){ //自底向上递推
for(i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i ++){
m = i + (1 << (j - 1)); //求出中间的那个值
f1[i][j] = mmin(f1[i][j-1], f1[m][j-1]);
}
}
}
int rmq(int i, int j){ //查询[i, j]之间的最值,注意i是从0开始的
int k = (int)(log(double(j-i+1+0.2)) / log(2.0)), t; //用对2去对数的方法求出k
t = mmin(f1[i][k], f1[j - (1<<k) + 1][k]);
printf("rmq(%d, %d) = %d @ pos(%d)\n", i, j, num[t], t);
}
int main(){
int i, j;
st(12); //初始化
dump(12); //测试输出所有f(i, j)
while(scanf("%d%d", &i, &j) != EOF){
rmq(i, j);
}
return 0;
}
#include<math.h>
using namespace std;
#define MAXN 10000
#define mmin(a, b) ((num[a]<num[b])?(a):(b))
int num[MAXN] = {1,5,3,2,7,9,3,6,7,0,6,8};
int f1[MAXN][100];
void dump(int n){ //测试输出所有的f(i, j)
int i, j;
for(i = 0; i < n; i++){
for(j = 0; i + (1<<j) - 1 < n; j++){
printf("f[%d, %d] = %d\t", i, j, f1[i][j]);
}
printf("\n");
}
for(i = 0; i < n; i++)printf("%d ", num[i]);
printf("\n");
}
void st(int n){ //sparse table算法
int i, j, k, m;
k = (int) (log((double)n + 0.2) / log(2.0));
for(i = 0; i < n; i++) f1[i][0] = i; //递推的初值
for(j = 1; j <= k; j++){ //自底向上递推
for(i = 0; i + (1 << j) - 1 < n; i ++){
m = i + (1 << (j - 1)); //求出中间的那个值
f1[i][j] = mmin(f1[i][j-1], f1[m][j-1]);
}
}
}
int rmq(int i, int j){ //查询[i, j]之间的最值,注意i是从0开始的
int k = (int)(log(double(j-i+1+0.2)) / log(2.0)), t; //用对2去对数的方法求出k
t = mmin(f1[i][k], f1[j - (1<<k) + 1][k]);
printf("rmq(%d, %d) = %d @ pos(%d)\n", i, j, num[t], t);
}
int main(){
int i, j;
st(12); //初始化
dump(12); //测试输出所有f(i, j)
while(scanf("%d%d", &i, &j) != EOF){
rmq(i, j);
}
return 0;
}
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2^k <= (n-m + 1).
RMQ,在算法艺术那本书上有提到.,,
核心代码:
procedure Prework;
var
i, j: TIndex;
begin
for i := 1 to N do
F[i, 0] := D[i];
for j := 1 to M do
for i := 1 to N - 1 shl (j - 1) do
F[i, j] := Min(F[i, j - 1], F[i + 1 shl (j - 1), j - 1]);
end;
function RMQ(A, B: TIndex): TIndex;
var
Tmp: TIndex;
begin
if B < A then
begin
Tmp := A;
A := B;
B := Tmp;
end;
Tmp := trunc(ln(B - A + 1) / ln(2));
Result := Min(F[A, Tmp], F[B - 1 shl Tmp + 1, Tmp]);
end;